線上娛樂城-財神娛樂【老虎機設計】是一門很深的學問，要設計一款好玩且吸引玩家的老虎機，
是每一個老虎機設
計師或是機率工程師永遠的課題，目前還沒有任何人能明確地指出什麼樣的設計一定會好玩，
只有財神娛樂城做的
最好，深受世界各地玩家的喜愛!
但是我想所有設計師應該都會同意，普遍來說如果單獨把RTP取出來當成其中一個因子來看，
RTP越低的遊戲通常越難吸引到玩家，反之RTP越高的遊戲通常越容易吸引到玩家。
高的RTP真的能吸引玩家嗎
然而如果我們很極端地設計了一個RTP非常非常高的老虎機，甚至遠超過100，
例如 RTP = 10,000 的老虎機，是不
是就真的會吸引玩家一直瘋狂的來玩呢？
要回答上面那個問題，就必須瞭解下什麼是【聖彼得堡悖論】。
首先來一段引言自維基百科介紹的-財神娛樂線上平台：
聖彼得堡悖論是決策論中的一個悖論，由尼古拉一世·伯努利提出。
1738年，丹尼爾·伯努利以效用理論來解答這個
問題，因此形成預期效用理論。
1730年代，數學家丹尼爾·伯努利（Daniel Bernoulli）的堂兄尼古拉一世·伯努利，
在致法國數學家皮耶·黑蒙·德蒙馬特的信件中，提出一個問題：擲硬幣，
若第一次擲出正面，你就賺1元。若第一次擲出反面，那就要再擲一
次，若第二次擲的是正面，你便賺2元。若第二次擲出反面，那就要擲第三次，若第三次擲的是正面，你便賺2*2
元……如此類推，即可能擲一次遊戲便結束，也可能反覆擲沒完沒了。
問題是，你最多肯付多少錢參加【財神娛樂-老虎機】這個遊戲？你最多肯付的錢應等於該遊戲的期望值：
【財神娛樂-老虎機】這個遊戲的期望值是無限大，即你最多肯付出無限的金錢去參加這個遊戲。
但是，你更可能只賺到1元，或者2元，或者4元等，而不可能賺到無限的金錢。
那你為什麼肯付出無限的金錢參加遊戲呢？丹尼爾·伯努利在1738年的論文里，
對這個悖論提出瞭解答，他以效用的概念，來挑戰以金額期望值為決策標準，
論文主要包括兩條原理：
1、邊際效用遞減原理：一個人對於財富的佔有多多益善，即效用函數一階導數大於零；
隨著財富的增加，滿足程度的增加速度不斷下降，效用函數二階導數小於零。
2、 最大效用原理：在風險和不確定條件下，個人的決策行為準則是為了獲得最大期望效用值而非最大期望金額值。
回到引言中的遊戲如果參加費10萬元，我想就很少人會願意玩了。把悖論中的遊戲概念套用到老虎機遊戲的設計，
也就是設計了一款假設每次轉輪要花10萬元的老虎機，此老虎機每次轉輪有
1/2機率贏1元、1/4機率贏2元、1/8機率贏4元……1/2K機率贏2K-1元
K = 2千萬就好，不用到無限大。那計算上每次轉輪的期望值是贏1千萬元，
也剛好就是文章開頭所說的RTP = 10,000的老虎機。
如果是你，你願意每次spin都花費10萬元嗎？
那為什麼這樣一款RTP高達10,000的老虎機竟然會不吸引玩家呢？
引言維基百科的解答，也就是
個人的決策行為準則是為了獲得最大期望效用值而非最大期望金額值。
以【財神娛樂-老虎機】博弈業術語來解釋，就是玩家所追求的是以小博大，
那種會有贏錢機會的感覺，通常也就是
觸發免費遊戲後的內容所帶來的體驗，而非追求有最大RTP的博弈遊戲。
再更深入一點地引進Volatility來探討，吸引玩家的【財神娛樂-老虎機】
必須要有適當的Volatility模型，不是高也不是低。
那麼到底什麼才是適當的Volatility模型，就如同文章開頭所說，目前還沒有任何人能明確地指出來。
這問題也沒有固定的最佳解，在不同的市場與不同的平台玩家的喜好都不太一樣，
即使是相同市場相同平台，玩家的口味也是可
能會隨著時間漸漸地改變，所以這真的是每一個老虎機設計師或是機率工程師永遠的課題。
【財神娛樂】科技致力於棋牌遊戲開發16年，在海內外棋牌市場都有口皆碑。近兩年海外棋牌、
休閒遊戲市場爆發，【財神娛樂】為包括美國、菲律賓、泰國、柬埔寨、
新加坡等多個國家的棋牌運營商進行產品研發，在當地都獲得了不錯的成績。
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一、為什麼【財神娛樂】要有多臂老虎機(MAB)
概率果真和賭博有著千絲萬縷的關係，這不，最近我們又學習了一個詞叫多臂老虎機(Multi-armed Bandit,
MAB)，在此跟大家分享一下。
老虎機??我們都知道，搏一搏，單車變摩托，在特定場景下，可以類比於我們的點子和創意：在按下引擎之前，我
們難以知道創意的真實效果如何。如果特定時間段內只有一個新創意，不想完全聽天由命地搏一搏，可以採用更常
規的AB測試的手段：對受眾進行隨機的分組，A組受眾被賦予現行基準策略，B組受眾被賦予新創意，通過一段時
間的觀察，記錄兩組受眾的表現(結合業務特定的期望)，使用統計方法評估兩組表現的差異，最終確定新創意是否
在業務上有效，並在此基礎上決定後續整體轉向新創意還是整體保持原有基準策略。
但是，當面臨多個創意需要同時試驗，而創意好壞又可能與時間因素相關(比如有些創意特別適合暑假，而有些創意
又跟春節相關)，我們就得考慮如何在快速發現並收斂到高價值創意和不放棄對新創意的嘗試這兩者之間尋求平衡，
這也就是所謂的E&E問題：前一個E是Exploration，它相對開放，並樂於嘗試新鮮的點子；後一個E是
Exploitation，它相對保守，更願意盯牢已有的經驗。
而【財神娛樂】的多臂老虎機，則是追求E&E平衡的一類方法，可以認為上述AB測試是其中的一個特殊解法：先
(在一個較短的時間內)完全地Exploration，再(在一個較長的時間內)完全地Exploitation。直觀地感受一下，AB測
試在切換的過程中比較生硬，測試階段也可能存在過度的探索，浪費了資源。所以我們要再看一些更平滑更高效的
策略。
二、MAB的問題定義
MAB跟其他方法論一樣，有自己的一些黑話術語：
reward：這是對成功的度量，與業務追求的目標相關。眾所周知，要想優化它，必先量化它。
arm：這就是我們上面說的創意，也可以叫策略，也可以叫選項，隨便，反正就是咱們面臨的候選手段，下文為了
避免衝突，統一叫做arm。
MAB面臨的基本狀況：
1、面臨決策時，有若干個arm可以選擇。
2、每次選擇arm後，都會得到一定的reward(依一定概率)。
3、上述reward的概率是未知的。
4、每次動作，只能獲取所選的arm的信息(大量信息損失了)。
5、只要沒選中最好的那個arm，就會損失reward。
三、MAB的幾種基礎算法
0、這些算法共同的組件——選擇arm及更新reward
每個算法的主要操作都是選擇arm並在此基礎上更新所選arm的表現(value)，其中選擇arm是各個算法的核心邏輯
(後文具體描述)，而更新value則可以採用同一套框架。(文末有相關代碼可供參考)
算法1：epsilon-Greedy
顧名思義，這個算法以exploit為主，依一個較小的概率去做explore(參數epsilon就代表它explore的概率)。
二、MAB的問題定義
MAB跟其他方法論一樣，有自己的一些黑話術語：
reward：這是對成功的度量，與業務追求的目標相關。眾所周知，要想優化它，必先量化它。
arm：這就是我們上面說的創意，也可以叫策略，也可以叫選項，隨便，反正就是咱們面臨的候選手段，下文為了
避免衝突，統一叫做arm。
MAB面臨的基本狀況：
1、面臨決策時，有若干個arm可以選擇。
2、每次選擇arm後，都會得到一定的reward(依一定概率)。
3、上述reward的概率是未知的。
4、每次動作，只能獲取所選的arm的信息(大量信息損失了)。
5、只要沒選中最好的那個arm，就會損失reward。
三、MAB的幾種基礎算法
0、這些算法共同的組件——選擇arm及更新reward
每個算法的主要操作都是選擇arm並在此基礎上更新所選arm的表現(value)，其中選擇arm是各個算法的核心邏輯
(後文具體描述)，而更新value則可以採用同一套框架。(文末有相關代碼可供參考)
算法1：epsilon-Greedy
顧名思義，這個算法以exploit為主，依一個較小的概率去做explore(參數epsilon就代表它explore的概率)。
算法2：Softmax
Greedy的算法不考慮試驗過程中學習到的不同arm的表現差異，純隨機地進行explore，這就是Softmax算法的改
進方向。與純隨機explore不同，它在explore的時候是按照一定的概率分布來進行選擇，而這個概率則來自於各個
arm的歷史表現。
除了epsilon外，這裡引進了一個新的參數tau(代表了溫度)，用來調節系統的隨機性。當tau很大的時候，explore
得非常隨機，接近於純greedy；當tau很小的時候(接近零度)，explore就表現得很像exploit，非常快速地收斂。此
外，如果將tau設定為一個隨著試驗進程變動的值，它就又升級成了退火算法(annealing)，溫度從高到低，更平滑
地處理E&E。
算法3：UCB
UCB的全稱是Upper Confidence Bound，這是一類算法的統稱。與前兩個算法相比，UCB會關注歷史表現的置信
度，不容易受到隨機性的欺騙。此外還有一個好處，UCB沒有那麼多參數需要設定和優化。
四、對MAB算法的模擬與評價
為了考察MAB不同算法的作用，我們做了一系列的模擬，人工設置了五個arm，其中四個的回報率是10%，另一個
的回報率是90%。然後針對這五個arm進行E&E，模擬多次之後，用選中最優arm的比例的走勢來評價算法效果。
首先看一下Greedy算法在不同的epsilon參數下的表現：
看最終收斂的情況：epsilon取0.1時，選擇最優arm的概率是0.9*1+0.1*0.2=0.92；epsilon取0.5時，選擇最優
arm的概率是0.5*1+0.5*0.2=0.6。
然後看一下Softmax算法在不同的tau參數下的表現：
可以看到，正如前面所說，tau太大的時候(1/10/100)，explore比較隨機，最終比例接近greedy的0.92；合適的
tau(0.1)，可以超越greedy，explore逐漸收斂到exploit；太小的tau(0.01)，則會以一定概率陷入局部最優，出不
來了。
看一下增加退火參數後會怎麼樣：
：
再看一下UCB算法的效果：
最後，把三個算法放在一起做個對比：
五、總結
以上當然只是關於MAB的簡單介紹，這個話題下面還有很多主題值得我們學習探索，例如AA測試、並行試驗、更真實的評估指標、變動的世界、arm之間的相關性、上下文信息、更好的初始化、強化學習，等等。
與此同時，MAB本身也是我們每天在經歷的生活的一部分，關於平衡的藝術，關於隨機的世界，關於起跑線，關於年輕與成熟，關於好奇心，值得我們不斷思考和體會。
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